• Kaj je številski sistem?
• Nepozicijski številski sistemi
• Polpozicijski številski sistemi
• Pozicijski številski sistemi

Razložimo, kaj je sistem številčenja, in preučimo značilnosti vsake vrste sistema na primerih iz različnih kultur.

Vsak številski sistem vsebuje določen in končen niz simbolov.

Kaj je številski sistem?

Številski sistem je niz simbolov in pravil, s katerimi je mogoče izraziti število predmetov v številu. set, to je skozi katero je mogoče predstaviti vsa veljavna števila. To pomeni, da vsak številski sistem vsebuje dano in končno množico simbolov ter dano in končno množico pravil, po katerih jih je mogoče kombinirati.

Sistemi številčenja so bili eden glavnih izumov človeštva v pradavnini in vsaka od starodavnih civilizacij je imela svoj sistem, povezan z njenim načinom gledanja na svet, torej s svojo kulturo.

Na splošno lahko sisteme številčenja razvrstimo v tri različne vrste:

• nepozicijski sistemi. So tisti, pri katerih vsak simbol ustreza določeni vrednosti, ne glede na položaj, ki ga zaseda znotraj števila (če se pojavi prvi, ob strani ali za njim).
• Polpozicijski sistemi. So tisti, pri katerih je vrednost simbola ponavadi fiksna, vendar jo je mogoče spremeniti v določenih situacijah videza (čeprav so ponavadi precej izjeme). Razume se kot vmesni sistem med pozicijskim in nepozicijskim.
• Pozicijski ali uteženi sistemi.So tisti, pri katerih je vrednost simbola določena z njegovim lastnim izrazom in mestom, ki ga zaseda v številu, pri čemer je lahko vreden več ali manj ali izraža različne vrednosti, odvisno od tega, kje se nahaja.

Sisteme številčenja je mogoče razvrstiti tudi glede na število, ki ga uporabljajo kot osnovo za svoje izračune. Tako je na primer sedanji zahodni sistem decimalni (ker je njegova osnova 10), medtem ko je bil sumerski sistem številčenja šestdesetičen (njegova osnova je bila 60).

Nepozicijski številski sistemi

Nepozicijskih sistemov je bilo enostavno naučiti, vendar so zahtevali številne simbole.

Nepozicijski številski sistemi so bili prvi, ki so obstajali in so imeli najbolj primitivne osnove: prste, vozle na vrvi ali druge zapisovalne metode za usklajevanje številskih nizov. Na primer, če štejete na prste ene roke, potem lahko računate na cele roke.

V teh sistemih imajo števke svojo lastno vrednost, ne glede na njihovo lokacijo v verigi simbolov, in za oblikovanje novih simbolov je treba vrednosti simbolov dodati (zaradi tega so znani tudi kot aditivni sistemi). Ti sistemi so bili preprosti, preprosti za učenje, vendar so za izražanje velikih količin zahtevali številne simbole, zato niso bili povsem učinkoviti.

Primeri teh vrst sistemov so:

• Egiptovski številski sistem. Nastala okoli tretjega tisočletja pr. C., je temeljil na deseterici in se uporabljal hieroglifi drugačen za vsak vrstni red enot: ena za enoto, ena za deset, ena za sto in tako naprej do milijona.
• Azteški številski sistem. Tipično za mehiški imperij je imelo 20 kot svojo osnovo in je uporabljalo posebne predmete kot simbole: zastava je bila enaka 20 enotam, pero ali nekaj las 400, torba ali vreča je bila med drugim enaka 8000.
• Grški številski sistem.Natančneje jonski, je bil izumljen in razširjen v vzhodnem Sredozemlju od četrtega stoletja pr. C., ki nadomešča že obstoječi akrofonični sistem. To je bil abecedni sistem, v katerem so črke pomenile številke, pri čemer je črka ustrezala njenemu glavnemu mestu v abecedi (A=1, B=2). Tako je bila vsaki številki od 1 do 9 dodeljena črka, vsaki deseti druga posebna črka, vsaki sto še ena, dokler ni bilo uporabljenih 27 črk: 24 črk grške abecede in trije posebni znaki.

Polpozicijski številski sistemi

Polpozicijski sistemi so ustrezali potrebam razvitejšega gospodarstva.

Polpozicijski številski sistemi združujejo pojem fiksne vrednosti posameznega simbola z določenimi pravili pozicioniranja, zato jih lahko razumemo kot hibrid ali mešani sistem med pozicijskimi in nepozicijskimi. Imajo možnosti za predstavitev velikih števil, upravljanje vrstnega reda števil in formalnih postopkov, kot je množenje, zato predstavljajo korak naprej v kompleksnosti v primerjavi z nepozicijskimi sistemi.

Pojav polpozicijskih sistemov lahko v veliki meri razumemo kot prehod k učinkovitejšemu modelu številčenja, ki bi lahko zadovoljil kompleksnejše potrebe bolj razvitega gospodarstva, kot je bilo tisto velikih imperijev klasične antike.

Primeri tega modela številčenja so:

• Sistem rimskih številk. Nastala je v rimski antiki in je preživela do danes. V tem sistemu so bile številke zgrajene z uporabo določenih velikih črk latinske abecede (I = 1, V = 5, X = 10, L = 50 itd.), katerih vrednost je bila fiksna in je delovala na podlagi seštevanja in odštevanja, odvisno od kjer se pojavi simbol.Če je bil simbol levo od simbola enake ali manjše vrednosti (kot v II = 2 ali XI = 11), je treba dodati skupne vrednosti; če pa je bil simbol levo od simbola višje vrednosti (kot v IX = 9 ali IV = 4), jih je bilo treba odšteti.
• Klasični kitajski številski sistem. Njegovi začetki segajo približno v leto 1500 pr. C. in je zelo strog sistem navpične predstavitve števil z lastnimi simboli, ki združuje dva različna sistema: enega za pogovorno in vsakdanje pisanje ter drugega za komercialne ali finančne evidence. To je bil decimalni sistem, ki je imel devet različnih znakov, ki jih je bilo mogoče postaviti enega poleg drugega, da so dodali svoje vrednosti, včasih pa so vstavili poseben znak ali zamenjali lokacijo znakov, da bi označili določeno operacijo.

Pozicijski številski sistemi

Trenutni sistem številčenja izhaja iz hindujsko-arabskega sistema.

Pozicijski številski sistemi so najbolj zapleteni in učinkoviti od treh vrst številskih sistemov, ki obstajajo. Kombinacija pravilne vrednosti simbolov in vrednosti, dodeljene z njihovim položajem, jim omogoča, da sestavijo zelo visoke številke z zelo malo znaki, dodajo in/ali pomnožijo vrednost vsakega od njih, zaradi česar so bolj vsestranski in sodobni sistemi.

Na splošno pozicijski sistemi uporabljajo fiksen nabor simbolov in z njihovo kombinacijo se proizvajajo preostale možne figure ad infinitum, brez potrebe po ustvarjanju novih znakov, temveč z uvedbo novih stolpcev simbolov. Seveda to pomeni, da napaka v nizu spremeni tudi skupno vrednost števila.

Prvi primeri tovrstnih sistemov so nastali znotraj velikih imperijev ali najzahtevnejših starodavnih kultur v kulturnih in trgovskih zadevah, kot je Babilonsko cesarstvo drugega tisočletja pr. C. Primeri te vrste sistema številčenja so:

• Sodobni decimalni sistem.Samo s ciframi od 0 do 9 vam omogoča, da sestavite poljubno število in dodate stolpce, katerih vrednost se doda, ko se premikate v desno, pri čemer je osnova desetica. Tako lahko z dodajanjem simbolov 1 sestavimo 10, 195, 1958 ali 19589. Pomembno je pojasniti, da uporabljeni simboli izvirajo iz hindujsko-arabskih številk.
• Hindujsko-arabski številski sistem. Izumili so ga starodavni indijski modreci, kasneje pa so ga podedovali muslimanski Arabci, je dosegel zahod skozi Al-Andalus in na koncu nadomestil rimske številke tradicionalno. V tem sistemu, podobno kot v sodobnem decimalnem sistemu, so enote od 0 do 9 predstavljene s posebnimi glifi, ki predstavljajo vrednost vsake s pomočjo črt in kotov. Sistem delovanja tega sistema je v osnovi enak sodobnemu zahodnemu decimalnemu sistemu.
• Majevski številski sistem. Ustvarjen je bil za merjenje časa, namesto za izvajanje matematičnih transakcij, njegova osnova pa je bila vigezimalna, njeni simboli pa ustrezajo koledarju te predkolumbovske civilizacije. Liki, razvrščeni po 20 krat 20, so predstavljeni z osnovnimi znaki (črte, pike in polžki ali školjke); in za pomik na naslednji rezultat se na naslednji stopnji pisanja doda točka. Poleg tega je Maji so bili med prvimi, ki so uporabljali številko nič.